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MÉTODO DE KRIGING

Kriging es un método que se utiliza en geoestadística para la estimación de puntos, podría hacerse una analogía con algún método de interpolación, por ejemplo en topografía generalmente se utiliza la triangulación de puntos del terreno, para obtener el valor de por ejemplo la altura de un punto dentro del triángulo que se desconoce su valor. A veces para mejorar la precisión o para suavizar la superficie se utilizan polinomios de un grado mayor para interpolar dentro del triángulo.

Estos métodos aunque son eficientes, realmente no nos muestran la forma más probable del terreno. El método de Kriging a grandes rasgos utiliza métodos estadísticos para estimar el valor más probable en el punto donde lo desconocemos, realmente el método de Kriging no es un método de interpolación, más bien es un método de estimación y está basado en la teoría de mínimos cuadrados que propuso Gauss.

Éste método se basa en la hipótesis de que cada punto existente en el espacio estudiado tiene una dependencia de los demás, en otras palabras tienen una autocorrelación con una tendencia calculable. La función estadística que calcula la relación de dependencia entre los puntos se llama variograma. Para esto, los puntos más cercanos al punto a estimar son de los que depende más el valor del punto y así como alejamos la distancia, los puntos van teniendo menor dependencia. El método de Kriging calcula el mejor estimador lineal imparcial basándose en un modelo estocástico de dependencia espacial cuantificado por el variograma γ(x,y) y la función de covarianza c(x,y) de la variable aleatoria.

Dicho de otra manera, el estimador de Kriging se define así:

Zest = ∑ wi(x0 )Z(xi )

De todos los puntos observados zi = Z(xi ), y los pesos wi, con i = 1,...,n, serán obtenidos con la varianza. La varianza se obtiene utilizando las fórmulas para variables aleatorias, y el resultado es el siguiente:

$\sigma^2_k(x_0):=\mathrm{Var}\left(\hat{Z}(x_0)-Z(x)\right)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n w_i(x_0) w_j(x_0) c(x_i,x_j) + \mathrm{Var}\left(Z(x)\right)-2\sum_{i=1}^nw_i(x_0)c(x_i,x_0)$

Donde c(xi,x0) representa la covarianza de VAR(Zest), que es igual a Zest. La condición de imparcialidad es la siguiente:

$\mathrm{E}[\hat{Z}(x)-Z(x)]=\sum_{i=1}^n w_i(x_0)\mu(x_i) - \mu(x_0) =0$

Se han escrito varias formas del método de Kriging, el método de Kriging simple, no toma en cuenta la condición de imparcialidad, por lo que solamente nos queda el siguiente sistema:

$\begin{pmatrix}w_1 \ \vdots \ w_n \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}c(x_1,x_1) & \cdots & c(x_1,x_n) \ \vdots & \ddots & \vdots \ c(x_n,x_1) & \cdots & c(x_n,x_n) \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix}c(x_1,x_0) \ \vdots \ c(x_n,x_0) \end{pmatrix}$

Además de la forma simple de Kriging, existe:

- La forma ordinaria de Kriging, en la que se asume una tendencia del variograma desconocida, pero constante.

- La forma universal de Kriging que asume que la tendencia del variograma es un modelo lineal $\mu(x)=\sum_{k=0}^p \beta_k f(x)$ .

- Y todas las posibles combinaciones de interpolación, pero aplicadas al variograma, como puede ser interpolación lineal, logarítmica y no lineal.

La siguiente imagen nos muestra que tan poderoso es éste método, con algunos puntos dispersos se nota la diferencia entre el modelo de la izquierda en el que se utiliza interpolación lineal y el modelo de la derecha en el que se usa la forma universal de Kriging:

Referencias:

- Isaaks E. H. Snvastava R. M. An introducction to Applied Geoestatistics Oxford Univ. Press, 1989, 561 p.
- Journel A.G. Journel Fundamentals of Geoestatics in five lessons. Schort course in Geology Vol. 8 AGU. 1989 4 p.
-Algunas figuras fueron obtenidas de http://www.wikipedia.com